Primer iz STEM nastavničke prakse: Simetrija u matematici i muzici

Šta je simetrija? 

Simetrija (od grčke reči συμμετρία (symmetria) „saglasnost u dimenzijama usled srazmere, aranžmana”) na svakodnevnom jeziku odnosi se na osećaj harmonične i lepe proporcije i ravnoteže. U matematici „simetrija” ima preciznu definiciju – da je objekat invarijantan za bilo koju od različitih transformacija, uključujući refleksiju, rotaciju ili skaliranje. Simetrija je preslikavanje figura u geometriji. Simetrijom se naziva i osobina simetrične figure u odnosu na pravu (osu), tačku (centar) ili ravan, tačnije svojstvo geometrijske figure da ima osu simetrije, centar simetrije ili ravan simetrije. Iako ova dva značenja simetrije mogu ponekad da budu različita, ona su srodna.

Gde pronalazimo simetriju u muzici? 

Kada govorimo o muzici, analiziranjem muzičkih oblika, njihove makro i mikro strukture, zaključujemo da i u njima postoji simetričnost. Simetričnost muzičkih oblika je naročito zastupljena kod kompozitora koji su pripadali epohi klasicizma, kao što su Volfgang Amadeus Mocart, Ludvig van Betoven, Jozef Hajdn. Simetričnost se može posmatrati u muzičkim oblicima kao što je sonata, menuet, simfonija, koncert, ali i u mikrostrukturi (simetrija muzičkih rečenica). To znači da su Betovenove rečenice simetrične strukture građene kao 2 + 2 + 4, a Mocartove 4 + 4 ili 8 + 8. Ponavljanjem muzičkih rečenica (malih, velikih, nepravilnih), uočavamo „osnu simetriju” i preslikavanje kao matematičke figure.

Analiza Mocartovog „Menueta” iz „Male noćne muzike” kao simetričnog muzičkog oblika 

>Na makroplanu, muzički oblik „Menueta” je trodel, forme ABA`. Pri samom slušanju „Menueta”, da bi se uočila makroforma, treba uočiti delove koji su različiti, a koji su ponovljeni. Vrlo je lako odrediti o kakvom ponavljanju je reč. Prvi i treći deo su rečenične mikroforme, a drugi deo fragmentarne. Kada bismo podelili jednom pravom linijom makroformu „Menueta”, dobili bismo simetrični, savršeni oblik. Ta prava linija bi bila u delu B, središnjem, fragmentarnom delu, drugačije strukture, fakture, karaktera i tonaliteta.

Analiza muzičkog oblika kompozicije: delo ima tri dela. Prvi deo, deo A je rečenične strukture, deo B je fragmentarne strukture, deo A` se varirano ponavlja. To bi bila simetrična struktura kompozicije.

Simetričnost oblika se ogleda u tome što se delovi, rečenice ponavljaju, što su simetrični. Šta znači simetričnost delova u muzičkom obliku? Znači: iste su strukture, fakture, tempa, takta, karaktera i tonaliteta.

Učenici su dobili zadatak da osnu simetriju odrede crtežom:

• Nacrtati pravu s i tačku A koja ne pripada pravoj s.
• Nacrtati osnu simetriju tačke A u odnosu na pravu s.

Kada smo to uradili, pomoću uglomera ćemo nacrtati normalu iz tačke A na datu pravu s. Presek prave s i normale iz tačke A označićemo sa tačkom S. Zatim ćemo pomoću šestara opisati kružnicu čiji je centar u tački S, a poluprečnika SA. Tačku preseka ovog kružnog luka sa normalom označićemo sa A`. Na ovaj način mi smo dobili osnu simetričnu tačku tačke A u odnoosu na osu simetrije s.

Za tačke A i A` kažemo da su OSNOSIMETRIČNE TAČKE u odnosu na pravu s. Prava s je OSA SIMETRIJE. Osnosimetrične tačke jednako su udaljene od prave koja je njihova osa simetrije.

Zaključak 

Mocartov „Menuet” je simetrične makroforme, prvi i treći deo, označeni kao deo A i A varirani (A`), zapravo su osnosimetrične tačke u kompoziciji. Drugi deo u kompoziciji, deo B, jeste osa simetrije. Osnosimetrične tačke, tačnije prvi i treći deo u kompoziciji sa približno jednakim brojem taktova, udaljeni su jednako od prave koja je njihova osa simetrije, tačnije od dela B u kompoziciji.

Autor članka:

Aleksandra Pavićević je nastavnik muzičke kulture u OŠ „Đorđe Krstić” u Beogradu. Završila je Fakultet muzičke umetnosti u Beogradu i stekla titulu diplomirani muzički pedagog. Specijalizirala je vokalnu literaturu na Fakultetu muzičke umetnosti u Beogradu u klasi profesora Miloja Nikolića. Doktorand je trenutno na Fakultetu za kulturu i medije u Beogradu. Autor je nekoliko naučnih radova, koji su objavljeni u naučnim časopisima „Krajina”, „Mokranjac” i „Godišnjak Megatrenda”. Njen naučni rad je preveden i na engleski jezik u Zborniku radova „Savremeno obrazovanje”, Subotica 2020. Tokom svoje karijere bila je predavač, izlagač na Međunarodnoj konferenciji „Savremeno obrazovanje 2020”, 14. konferenciji Megatrenda „Kulturna baština”, a nastavnik promoter na Međunarodnoj konferenciji „Svet obrazovanja briše granice”.

Napisala je stručnu knjigu „Hor u osnovnoj školi, od audicije do javnog nastupa”, AGM knjiga, 2017. godine. Vodi školski hor, koji nastupa na raznim festivalima i takmičenjima u Beogradu, FEDEHO, u okviru DEMUS-a i u Valjevu, HORFEST. Voli da komponuje za decu. Njene autorske pesme su se izvodile na međunarodnim festivalima u Beogradu, festivalu „Angel Voice”, zatim u Tuzli, na festivalu „Majski cvijet”. Komponuje na svoje stihove ili stihove naših pesnika kao što je pesnik Miroslav Kokošar. Član je Udruženja nastavnika muzičke kulture, Srpske horske asocijacije, tima „Angel Voice”, Asocijacije najboljih nastavnika eks-Jugoslavije, ANN EX YU, redakcije Stručne knjige iz oblasti obrazovanja „Savremena nastava” i Instituta za moderno obrazovanje.

Reference:

1. Madarász, Sz. R. „Matematika i muzika”. Novi Sad: PMF, 2009.
2. Skovran, D., V. Peričić. „Muzički oblici”. Beograd: FMU, 1989. 
3. sr.wikipedia.org › sr-ec › Simetrija

Ukoliko želite uvek da budete u toku sa aktuelnim događajima Instituta za moderno obrazovanje pridružite se našoj Viber zajednici.

Za više informacija možete nam se obratiti putem imejl-adresa: office@institut.edu.rs, sonsserbia@institut.edu.rs ili pozivom na broj: 011/40-11-260.